==== Espaço de Hausdorff é localmente compacto $\Leftrightarrow$ admite uma compactificação de Alexandroff ====

Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico Hausdorff.

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Primeiro mostremos que se $(X, \tau)$ admite uma compactificação então $(X, \tau)$ é completamente regular.

Seja $(Y, \sigma)$ uma compactificação de $(X, \tau)$, então como $(Y, \sigma)$ é Hausdorff e compacto, vale que $(Y, \sigma)$ é localmente compacto e portanto, completamante regular. Finalmente, como $X \subset Y$, concluímos que $(X, \tau)$ é completamante regular.

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Agora vamos mostrar o resultado principal: 

$\Rightarrow)$

Suponha que $(X, \tau)$ seja localmente compacto, defina $Y=X \cup \{x\}, x \notin X$ e considere a topologia $\tau$ sobre $Y$ como sendo de forma que $\tau \subset \sigma$ e $\{x\}\cup (X \setminus K) \in \sigma$ para todo $K \subset X$ compacto.

Como $(X, \tau)$ é Hausdorff, dado $a \in X$, existe um compacto $K$ satisfazendo $a \in A \subset K$ em que $A$ é aberto. Além disso, $B=\{x\} \cup (X \setminus K)$ é um aberto que contém $x$ e satisfaz $A \cap B = \emptyset$, isso mostra que $(Y, \sigma)$ é Hausdorff. E como $(\{x\} \cup (X \setminus K)) \cap X \ne \emptyset, \forall K \subset X$ segue também que $x \in \overline{X}$ e portanto, $X$ é subespaço denso de $Y$.

Finalmente, seja $\mathcal{U}$ uma cobertura aberta de $Y$, então existe $V \in \mathcal{U}$ tal que $x \in V$. Logo $X \setminus V$ é compacto e portanto, admite uma subcobertura finita $\{U_i \in \mathcal{U}\}$. Assim, $\{U_i \in \mathcal{U}\} \cup V$ é uma subcobertura finita de $Y$ e portanto $Y$ é compacto.

Nessas condições, concluímos que $(Y, \sigma)$ é uma compactificação de Alexandroff de $(X, \tau)$

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$\Leftarrow)$

Suponha agora que existe $(Y, \sigma)$ uma compactificação de Alexandroff para $(X, \tau)$.

Note primeiro que $X$ é aberto em $Y$, logo fixado $a \in X$ existe uma vizinhança aberta $U \subset X$ tal que $a \in U$ e portanto $U = X \cap V$ para algum $V \subset Y$. Nessas condições, como $Y$ é regular, existe $W \subset Y$ aberto tal que

\[
a \in W \subset \overline{W} \subset V \subset Y \Rightarrow a \in W \cap X \subset \overline{W} \cap X \subset V \cap X \subset Y \cap X \Rightarrow a \in W \cap X \subset \overline{W} \cap X \subset U \subset X
\]

Como $\overline{W} \cap X$ é fechado e esta contido em $X$ compacto, concluímos que $\overline{W} \cap X$ é compacto e portanto $a$ admite um sistema fundamental de vizinhanças compactas. Logo, mostramos $(X, \tau)$ é localmente compacto.