====== Topologia da Ordem ======

<WRAP round box 80%>
Seja $X$ um conjunto. Dizemos que a relação $\preceq$ sobre $X$ é uma **ordem** se $\preceq$ satisfaz
  * $\forall a\in X$ $a\preceq a$.
  * $\forall a, b\in X$ $a\preceq b\wedge b\preceq a\implies a = b$.
  * $\forall a, b, c\in X$ $a\preceq b\wedge b\preceq c\implies a\preceq c$.
Nesse caso, dizemos que $(X, \preceq)$ é um **conjunto ordenado**.

Dados $a, b\in X$, escrevemos $a\prec b$ se $a\preceq b$ e $a\neq b$.
</WRAP>

<WRAP round box 80%>
Seja $(X, \preceq)$ um conjunto ordenado. Dizemos que $\preceq$ é uma **ordem total** se quaisquer dois elementos de $X$ são comparáveis por $\preceq$, isto é, se
  * $\forall a, b\in X$ $a\preceq b\vee b\preceq a$.
Nesse caso, dizemos que $(X, \preceq)$ é um **conjunto totalmente ordenado**.
</WRAP>

<WRAP round box 80%>
Seja $(X, \preceq)$ um conjunto ordenado. Dizemos que $\preceq$ é uma **ordem densa** se entre quaisquer dois elementos comparáveis e distintos de $X$ existe um terceiro elemento de $X$, isto é, se
  * $\forall a, b\in X$, $a\prec b$, $\exists c\in X$ $a\prec c\prec b$.
</WRAP>

<WRAP round box 80%>
Sejam $(X, \preceq)$, $(Y, \unlhd)$ conjuntos ordenados. Dizemos que $f:X\rightarrow Y$ **preserva a ordem** se $\forall a, b\in X$ $a\preceq b\implies f(a)\unlhd f(b)$. Se além disso $f$ é bijetora, dizemos que $f$ é um **isomorfismo de ordem**.
</WRAP>

Seja $(X, \preceq)$ um conjunto totalmente ordenado. A **topologia da ordem** sobre $(X, \preceq)$ é a topologia gerada pelos conjuntos da forma
$$]a, +\infty[~:=\{x\in X: a\prec x\}$$
$$]-\infty, b[~:=\{x\in X: x\prec b\}$$
$a, b\in X$.

=== Exemplos ===
  * A [[topologia:exemplo:retausual| topologia usual de $\mathbb{R}$]] é a topologia induzida pela ordem usual de $\mathbb{R}$.
  * A [[topologia:exemplo:seqconv| topologia do espaço da sequência convergente]] é a topologia induzida pela ordem $<$ que estende a ordem usual de $\mathbb{N}$ e tal que $n<\infty~\forall n\in\mathbb{N}$.

Dados $a, b\in X$, definimos $]a, b[~:= \{x\in X: a\prec x\prec b\}$. Note que $]a, b[~=~]a, +\infty[~\cap~]-\infty, b[$.

**Proposição.** //Seja $\tau$ a topologia da ordem sobre o conjunto totalmente ordenado $(X, \preceq)$. Então a família $\mathcal{B}$ dos conjuntos da forma $]a, +\infty[~$, $]-\infty, b[$ e $]a, b[$, $a, b\in X$, é base de $(X, \tau)$.//

**Proposição.** //Sejam $\tau$, $\rho$ as topologias da ordem sobre os conjuntos totalmente ordenados $(X, \preceq)$, $(Y, \unlhd)$, respectivamente. Se $f:X\rightarrow Y$ é um isomorfismo de ordem, então $f$ é homeomorfismo entre $(X, \tau)$ e $(Y, \rho)$.//

Dados $a, b\in X$, podemos definir também $[a, +\infty[~:=\{x\in X: a\preceq x\}$, $]-\infty, b]~:=\{x\in X: x\preceq b\}$, $[a, b]~:= \{x\in X: a\preceq x\preceq b\}$.

=== Propriedades ===
  * [[topologia:aincriveltopologiadaordem:t0| A topologia da ordem satisfaz $T_0$.]] 
  * [[topologia:aincriveltopologiadaordem:t1| A topologia da ordem satisfaz $T_1$.]] 
  * [[topologia:aincriveltopologiadaordem:t2| A topologia da ordem satisfaz $T_2$.]] 
  * [[topologia:aincriveltopologiadaordem:t3| A topologia da ordem satisfaz $T_3$.]]
  * [[topologia:aincriveltopologiadaordem:t4| A topologia da ordem satisfaz $T_4$.]]

----

=== Veja também ===

  * [[topologia:descersubespacotopordem|"Descer para subespaço" e "tomar a topologia de ordem induzida" não comutam.]]