===== Topologia ===== ==== Um curso em exercícios ==== Acompanhe um curso inteiro por meio de exercícios [[topologia:exercicios|aqui]]. ==== Exemplos ==== Você pode procurar por exemplos de espaços topológicos [[topologia:exemplos|aqui]]. ==== Um curso de topologia ==== Abaixo você pode encontrar todo um curso de topologia. === Definições básicas === * [[topologia:espacoTopologico|Espaço topológico]] * [[topologia:subespaco|Subespaço]] * [[topologia:espacoMetrico|Espaço métrico]] * [[topologia:fechado|Fechado]] * [[topologia:pontoaderente|Ponto aderente]] * [[topologia:fecho|Fecho]] * [[topologia:interior|Interior]] * [[topologia:fronteira|Fronteira]] * [[topologia:vizinhaca|Vizinhança]] * [[topologia:bases|Bases]] * [[topologia:densos|Densos]] * [[topologia:seqconv|Sequências convergentes]] * [[topologia:seqcauchy|Sequências de Cauchy]] * [[topologia:metcompleto|Espaço métrico completo]] * [[topologia:grafico|Gráfico de uma função]] * [[topologia:invariantes|Invariantes topológicos]] * [[topologia:topologiagerada|Topologia gerada]] * [[topologia:aincriveltopologiadaordem|Topologia da ordem]] * [[topologia:topforte|Topologia Forte]] * [[topologia:topquociente|Topologia Quociente]] * [[topologia:zerodimensional|Zero dimensional]] * [[topologia:totalmentelimitados|Totalmente limitado]] === Axiomas de separação === * [[topologia:espacoT0|Espaço \(T_0\)]] * [[topologia:espacoT1|Espaço \(T_1\)]] * [[topologia:espacoHausdorff|Espaço de Hausdorff]] * [[topologia:espacoRegular|Espaço regular]] * [[topologia:espacoNormal|Espaço normal]] * [[topologia:espacocompletregular|Espaço completamente regular]] === Axiomas de enumerabilidade === * [[topologia:baselocalenumeravel|Primeiro axioma de enumerabilidade]] * [[topologia:basesenumeraveis|Bases Enumeráveis]] * [[Separabilidade]] * [[topologia:metricoseparavel|Espaço métrico separável]] === Funções contínuas === * [[topologia:funcao|Motivação e definição]] * [[topologia:exs e props|Imagem de denso é densa]] * [[topologia: corolario| Imagem de separável é separável]] * [[topologia:func.cont. e seq. converg.|Caracterização por sequências]] * [[topologia:ext.cont.|Extensões contínuas: introdução]] * [[topologia:ExtcontI|Extensões contínuas: Urysohn e Tietze (Parte I)]] * [[topologia:ExtcontII|Extensões contínuas: Urysohn e Tietze (Parte II)]] * [[topologia:extseq|Extensão a partir de sequências convergentes]] * [[topologia:uni.denso|Duas funções que coincidem em um denso são iguais?]] * [[topologia:homeo|Homeomorfismos]] * [[topologia:cober.fechada|Continuidade limitada a finitos fechados cuja união é o espaço todo]] * [[topologia:cober.aberta|Continuidade limitada a abertos cuja união é o espaço todo]] * [[topologia:LemaJones12|Caso particular do Lema de Jones]] * [[topologia:homog|Um exercício sobre espaços homogêneos]] === Resultados básicos === * [[topologia:reg=>haus|Regular $\Rightarrow$ Hausdorff]] * [[topologia:norm=>reg|Normal $\Rightarrow$ Regular]] * [[topologia:reg.enum=>norm|Regular enumerável $\Rightarrow$ Normal]] * [[topologia:convergenciaefecho|Caracterização do fecho em termos de limites de sequências]] * [[topologia:uniclimhaus|Unicidade de limite em espaços de Hausdorff]] * [[topologia:reg.base=>norm|Regular com base enumerável $\Rightarrow$ Normal]] * [[topologia:completregehreg|Completamente regular $\Rightarrow$ Regular]] * [[topologia:2axenum=>1axenum|Base enumerável $\Rightarrow$ Bases locais enumeráveis]] * [[topologia:regenum=>zero-dim|Regular enumerável $\Rightarrow$ Zero-dimensional]] * [[topologia:caracterizacaodosracionaisportopologiadaordem|Caracterização de $\mathbb{Q}$ por topologia da ordem.]] * [[topologia:caracterizacaodosreaisportopologiadaordem|Caracterização de $\mathbb{R}$ por topologia da ordem.]] * [[topologia:descersubespacotopordem|"Descer para subespaço" e "tomar a topologia de ordem induzida" não comutam.]] * [[topologia:graficofechado|Função contínua (com codomínio de Hausdorff) tem gráfico fechado]] * [[topologia:boxtopology| A topologia da caixa no produto de espaços discretos é discreta]] * [[topologia:separabi1.0| Quando o produto de separáveis é separável?]] * [[topologia:separacompacto| Espaços de Hausdorff separam compactos disjuntos]] * [[topologia:alexandroff| Espaço de Hausdorff é localmente compacto $\Leftrightarrow$ admite uma compactificação de Alexandroff]] * [[dem:Hausdorffcompacto->localcompacto| Hausdorff e compacto $\Rightarrow$ localmente compacto]] * [[dem:Hausdorfflocalmentecompacto->compregualr| Hausdorff e localmente compacto $\Rightarrow$ completamente regular]] * [[dem:numlebesgue| Toda cobertura aberta de um espaço métrico compacto admite um número de Lebesgue]] * [[topologia:lebesgue&funcaounfcont| Toda função contínua $f: (X,d) \to (Y,d')$ em que $X$ é um espaço métrico tal que toda cobertura admite número de Lebesgue, é uniformemente contínua]] * [[topologia:topuniondisj|Caracterização da topologia união disjunta usando continuidade]] * [[topologia:AUBconexo| A união de dois conexos não mutuamente separados é conexa]] * [[topologia:compactosRn| Caracterização para os compactos em $\mathbb{R}^n$]] * [[topologia:produto| $G_{\delta}$ do produto]] * [[topologia:ordenadoconexo|Resultado sobre ordem e conexidade]] * [[topologia:prodfinconexo|Produto finito de conexos é conexo]] * [[topologia:produtoadeconexos| Produto arbitrário de conexos é conexo]] * [[topologia:prodconexocaminhos|Produto de conexos por caminhos é conexo por caminhos]] * [[topologia:planocircunithomotopia| O plano sem a origem e o círculo unitário são homotopicamente equivalentes]] * [[topologia:compactretasorgquad| Um resultado sobre o quadrado de Sorgerfrey e sua generalização]] * [[topologia:discretofechadot1| Caracterização para conjuntos discretos fechados em espaços $T_1$]] * [[topologia:prodfechadoabertoemmetricocompleto: Produto de um aberto por um fechado ambos em espaços métricos completos é completamente metrizável]] * [[topologia:metricoparacompacto| Todo espaço métrico é paracompacto]] * [[topologia:haussparacompacto| Todo espaço de Haussdorff paracompacto é coletivamente normal]] * [[topologia:caracterizacaoCantor|Caracterização do Conjunto de Cantor a menos de homeomorfismo]] * [[topologia:intersecenumbaire| Interseção enumerável de abertos densos em um espaço de Baire é de Baire]] * [[topologia:fixedPointHausdorff| Pontos fixos e espaços Hausdorff]] * [[topologia:StoneCechNNotOnePoint| Stone–Čech não acrescenta somente um ponto]] * [[topologia:teoremabaire|Hausdorff localmente compacto $\Rightarrow$ Espaço de Baire]] === Topologia produto === * [[topologia:produtofinito|Caso finito]] * [[topologia:definicaogeral| Motivação, definição geral.]] * [[topologia:propriedadesbasicasproduto| Propriedades Básicas]] * [[topologia:boxtopology1| Topologia da Caixa]] * [[topologia:primeiroAEproduto| Axiomas de enumerabilidade]] * [[topologia:prodcompregnormal| Produto de espaços completamente regulares e normais]] * [[topologia:fcontnoprod| Função contínua se, e somente se, cada coordenada é contínua]] * [[topologia:teoremaimersao| Teorema da Imersão]] * [[topologia:topfracametrica| Topologia fraca induzida pela métrica]] === Compacidade === * [[topologia:defcompacto| Definição e Lema da Sub-Base de Alexander]] * [[topologia:sepcompacto| Compacidade e axiomas de separação]] * [[topologia:compcontinua| Compacidade e funções contínuas]] * [[topologia:localmentecompacto| Compacidade local]] * [[topologia:toptychonoff| Teorema de Tychonoff]] * [[topologia:PtoAcumulu| Pontos de Acumulação]] * [[topologia:seqcom| Sequencialmente Compactos]] * [[topologia:compaplic| Aplicações]] * [[topologia: limitimplicacompacto|Caracterização de compactos de $\mathbb{R}$ por funções contínuas]] * [[topologia:metcomptotallim|Caracterização para espaços métricos compactos]] * [[topologia:seqcompacto| Sequência de abertos em um compacto]] * [[topologia:compactfilter|Teorema de Tychonoff via filtros]] * [[topologia:funçõessuportecompacto|O conjunto das funções continuas com suporte compacto é denso no espaço de todas as funções de $ \mathbb{R} $ em $ \mathbb{R} $.]] === Conexidade === * [[topologia:conexidadeintervalos| Conexidade: Intervalos]] * [[topologia:mutseparados| Mutuamente separados]] * [[topologia:compconexa| Componentes Conexas]] * [[topologia:conexcaminhos| Conexos por caminho]] * [[topologia:conexidadelocal|Conexidade local]] * [[topologia:conexaplic| Aplicações]] * [[topologia:XxYhomeomR| Uma condição necessária para que $X \times Y$ seja homeomorfo a $\mathbb{R}$]] * [[topologia:comptconexaexerc| Quando cada componente conexa é um conjunto aberto e fechado]] * [[topologia:existeumcaminho|Existe um caminho de x para y]] * [[topologia:bolahomeomorfismo|Não existe um homeomorfismo entre $ B_{r}(x) $ e um intervalo]] * [[topologia:curvasemautointer=>interiorvazio|Uma curva de $\mathbb{R}^2$ sem auto interseção tem interior vazio]] * [[topologia:teoalfandega|Teorema da Alfândega: Uma aplicação em $\mathbb{R}^n$]] === Homotopia === * [[topologia:basicresults| Definição e resultados básicos]] * [[topologia:homotopequivalente| Espaços homotopicamente equivalentes]] * [[topologia:grupofundamental| Grupo fundamental]] * [[topologia:espaçorecobrimento| Espaço de Recobrimento]] * [[topologia:levanhomot| Levantando homotopias]] * [[topologia:grupofundamentalS1| Grupo fundamental da circunferência]] === Aplicações === * [[topologia:primos|Uma demonstração da existência de infinitos primos usando topologia]] * [[topologia:oplanoamenosdeenumeraveispontoseconexo|Com enumeráveis buracos, o plano ainda é conexo!]] * [[topologia:uniaoenumeravelconexoscominterseçãoumaumnaovazia|A união enumerável de conexos um a um não disjuntos é conexa.]] * [[topologia:metrizabilidade| Espaços Completamente Metrizáveis]] * [[Topologia:teometriza| Um teorema de metrizabilidade]] * [[Topologia:lemaurysohn| Lema de Urysohn]] * [[topologia:sepsubset|Todo espaço métrico separável é homeomorfo a um subconjunto de $[0,1]^{\mathbb{N}}$]] * [[topologia:baire|Espaços de Baire]] * [[topologia:stone|Compactificação de Stone-Čech]] * [[topologia:stone-N|Compactificação de Stone–Čech dos naturais]] * [[topologia:compactificacaoSCracionais|Compactificação de Stone-Čech dos racionais]] * [[topologia:compactifuncEX753|Um caso interessante sobre funções contínuas e compactificações]] * [[topologia:naoepossivelcompactificarRadicionandosetreselementos|Não é possível compactificar $\mathbb{R}$ adicionando-se três elementos!]] * [[topologia:paracomp|Paracompactos]] * [[topologia:espseq|Espaços Sequenciais]] * [[topologia:partition-of-unity|Partições da unidade]] * [[topologia:banachmazur|O jogo de Banach-Mazur]] * [[topologia:banachmazurbaire|O jogo de Banach-Mazur e espaços de Baire]] * [[topologia:mazurcomplete|Estratégia vencedora para o jogo de Banach-Mazur num espaço métrico completo]] * [[topologia:funcaocontinuaebijectora|Não existe $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ contínua e bijetora ]] * [[topologia:peano|Não existe funções de Peano Injetora]] * [[topologia:complementarfinito|Topologia do complementar finito em não-enumerável]] * [[topologia:metricoenumeravel|Existem poucos métricos enumeráveis]]