=== $\mathbb{R}^n$ é metrizável===
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Consideremos $d:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to [0, \infty) $ a métrica dada por $d((x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n))= \max \lbrace |x_1-y_1|,|x_2-y_2|,...,|x_n-y_n| \rbrace$. Vejamos que a topologia induzida por $d$ é a topologia produto de $n$ cópias da reta com a topologia usual. Com efeito, seja $A$ um aberto na topologia induzida pela métrica. Sendo assim, existe $r>0$ tal que $B_r(x) \subset A \; (x=(x_1,...,x_n))$