=== Todo subespaço de um espaço de Hausdorff é um espaço de Hausdorff. ===

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**Demonstração:** Seja $(X, \tau)$ de Hausdorff. Tomemos $(Y, \sigma)$ com $Y \subset X$ e $\sigma = \{Y \cap A : A \in \tau\}$. Qualquer $a, b \in Y$ são também pontos de $X$. Então, podemos encontrar abertos disjuntos $A_{a}$ e $A_{b}$ tais que $a \in A_{a}$, e $b \in A_{b}$. Basta, agora, tomarmos $A'_{a} = Y \cap A_{a}$ e $A'_{b} = Y \cap A_{b}$.