Chame $D$ o conjunto dos pontos aderentes de $A$. 

Vamos provar que $\overline{A} \subset D$:


  *Seja $V$ aberto tal que $x \in V$ e suponha $V\cap A = \emptyset$, logo $A \subset X \setminus V$ que é fechado, assim, pela definição de $\overline{A}$, segue que $\overline{A} \subset X \setminus V$, contradição com o fato de que $x \in \overline{A}$  e $x \in V$.


Vamos provar que $D \subset \overline{A}$:


  *Seja $x \in D$ e suponha $x \notin \overline{A}$, logo, $x \in X \setminus \overline{A}$ que é aberto, como $x \in D$, temos que $(X \setminus \overline{A})\cap A \neq \emptyset$, contradição, pois $A \subset \overline{A}$.


Juntando $\overline{A} \subset D$ e $D \subset \overline{A}$, temos que $D = \overline{A}$ <wrap right>$\square$</wrap>