Vamos realizar uma indução, suponha todos os 3 nos casos triviais e assim iremos mostrar $[\![ a = b ]\!] [\![ b = c ]\!] \leq [\![ a = c ]\!]$, os outros dois são análogos:
  * Vamos primeiramente mostrar que $[\![ a \subset b ]\!] [\![ b = c ]\!] \leq [\![ a \subset c ]\!]$
          *$$\begin{array}{ll}
               [\![ a \subset b ]\!] [\![ b = c ]\!] &= \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}(a(t)\rightarrow [\![ t \in b ]\!]))[\![ b = c ]\!]
               \\
               &= \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}(-a(t) + [\![ t \in b ]\!]))[\![ b = c ]\!]
               \\
               &= \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}([\![ b = c ]\!]-a(t) + [\![ b = c ]\!][\![ t \in b ]\!]))
            \end{array}$$
                   * E sabemos que $[\![ b = c ]\!]\cdot -a(t) \leq [\![ b = c ]\!], -a(t)$
                   * Pela hipótese de indução sabemos que $[\![ t \in b ]\!] [\![ b = c ]\!] \leq [\![ t \in c ]\!]$
          * $$\begin{array}{ll}
               [\![ a \subset b ]\!] [\![ b = c ]\!] &= \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}([\![ b = c ]\!]-a(t) + [\![ b = c ]\!][\![ t \in b ]\!]))
               \\
               &\leq \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}(-a(t) + [\![ t \in c ]\!]) 
               \\
               &\leq \displaystyle(\inf_{t \in dom(a)}(a(t)\rightarrow [\![ t \in c ]\!]))
               \\
               &\leq [\![ a \subset c ]\!]
            \end{array}$$
  *Agora de maneira similar podemos mostrar que $[\![ c \subset b ]\!] [\![ a = b ]\!] \leq [\![ c \subset a ]\!]$  
  *Com isso vamos unir as duas desigualdades e mostrar que $[\![ a = b ]\!] [\![ b = c ]\!] \leq [\![ b = c ]\!]$
          * $$\begin{array}{ll}
               [\![ a = b ]\!] [\![ b = c ]\!] &= [\![ a \subset b ]\!][\![ c \subset b ]\!][\![ a = b ]\!][\![ b = c ]\!]
               &\leq [\![ a \subset c ]\!][\![ c \subset a ]\!]
               &\leq [\![ a = c ]\!] 
            \end{array}$$   <wrap right>$\square$</wrap>