===$X$ é um conjunto fechado se, e somente se, $X' \subset X$===
Vamos supor $X$ um conjunto fechado:

  * Suponhamos que exista $x$ tal que $x \in X'$ e $x \notin X$, com isso $x$ é ponto de acumulação de $X$ e $x \in \overline{X \setminus x} = \overline{X}=X$, um absurdo, portanto para todo $x \in X'$, temos que $x \in X$.

Vamos supor que $X' \subset X$:

  * Para todo $x \in X'$, $x \in \overline{X \setminus x} = \overline{X}$, pois cada $x$ não é ponto isolado, com isso descobrimos que todo ponto de acumulação de $X$ é também ponto aderente do mesmo.
  * Vamos supor então que existe $y \in \overline{X}$ tal que $y \notin X$, portanto para todo aberto $V$ tal que $y \in V$ temos que $V \cap X \neq \emptyset$, com isso $y$ não é um ponto isolado e assim é um ponto de acumulação, portanto $y \in X$, por termos tomado $y$ qualquer isso implica que $X = \overline{X}$, ou seja, $X$ é fechado. <wrap right>$\square$</wrap>