$A \cup \partial A \subset \overline{A}$:
 
  * $A \subset \overline{A}$, e para todo $x \in \partial A$, $x$ é ponto aderente, portanto $x \in \overline{A}$.

$\overline{A} \subset A\cup \partial A$:

  *Sabemos pelo primeiro item que $\partial A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}$, assim tome $x \in \overline{A}$, $x$ é ponto aderente de $A$, se $x \in A$ acabamos, se $x \notin A \implies x \in X\setminus A$, portanto para todo aberto $V$ temos que $V \cap A \neq \emptyset$ e $x \in X\setminus A$, assim $x \in \partial A$ <wrap right>$\square$</wrap>