$A^\circ = A \implies A$ é aberto:

  *Trivial, pois $A^\circ$ é aberto.

$A$ é aberto $\implies A^\circ = A$:

  * Pela definição de interior temos que $A^\circ = \bigcup_{V \in \mathcal{V}}V$, onde $\mathcal{V} = \{V \subset X : V$ é aberto e  $V \subset A\}$, já que $A$ é aberto, temos que $A \in \mathcal{V}$ e portanto $\bigcup_{V \in \mathcal{V}}V = A$, o que implica que $A^\circ=A$. <wrap right>$\square$</wrap>