$\overline{A}=A \implies A$ é fechado:

  * Trivial, pois $\overline{A}$ é fechado.

$A$ é fechado $\implies \overline{A}=A$:

  * Pela definição de fecho temos que $\overline{A} = \bigcap_{F \in \mathcal{F}}F$, onde $\mathcal{F} = \{F \subset X : F$ é fechado e  $A \subset F\}$, já que $A$ é fechado, temos que $A \in \mathcal{F}$ e portanto $\bigcap_{F \in \mathcal{F}}F = A$, o que implica que $\overline{A}=A$. <wrap right>$\square$</wrap>