Pela construção de $\mathcal{T}^G$, se $u,v \in \omega_1$, $v<u$ e $G(v)\cap v = G(u) \cap v$, então $v \prec^G u$.

Assim os níveis de $\mathcal{T}^G$ são enumeráveis pelo lema anterior.

E $\mathcal{T}^G$ não contém ramos de tamanho $\omega_1$, pois os ramos são conjuntos dois a dois comparáveis e $G$ é não trivial.