===Todo espaço métrico possui base local enumerável===
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Sejam $(X,d)$ um espaço métrico, $x \in X$ e $A$ um aberto tal que $x \in A$. Sendo assim, existe $r>0$ tal que $B_r(x) \subset A$. Tomando $\frac{1}{n}<r$, então $x \in B_{\frac{1}{n}}(x) \subset B_r(x)$ e portanto $\lbrace B_{\frac{1}{n}}(x):n \in \mathbb{N}_{>0} \rbrace$ é uma base local para $x$.