===Uma função é contínua se, e somente se, for contínua em todos os pontos.===
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Suponha $f$ contínua e $x\in X$. Seja $A$ vizinhança de $f(x)$, então existe $A'$ aberto tal que $f(x)\in A'\subset A$. Assim, por hipótese $f^{-1}[A']$ é aberto, com $x\in f^{-1}[A']=W$ então $f[W]\subset A'\subset A$. Agora, suponha que para todo $x\in X$, $f$ é contínua em $x$. Seja $A$ aberto em $Y$. Para cada $x\in X$ tal que $f(x)\in A$, seja $B_x$  vizinhança de $x$ tal que $f[B_x]\subset A$. Como $B_x$ é vizinhança de x, existe $B'_x$ aberto tal que $x\in B_x'\subset B_x$. Portanto, $f^{-1}[A]=\cup_{x\in f^{-1}[A]}B'_x$ é aberto.