==== Separabilidade ====


=== Definição ===
<WRAP round box 47%>
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $D \subset X$ é **denso** em $X$ se $\overline{D}=X$.
</WRAP>

A caracterização de densos apresentada a seguir é importante para demonstrações posteriores.


\\ === Proposição 1 ===
<WRAP round box 80%>
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. $D \subset X$ é denso se, e somente se, para todo aberto não vazio $A$, $A \cap D \neq \emptyset$. [[.:dem:demoprop|Demonstração]]
</WRAP>

\\ === Definição ===
<WRAP round box 80%>
Dizemos que $(X,\tau)$ satisfaz o **terceiro axioma de enumerabilidade** (3rd countable) se admite um subconjunto denso enumerável. Nesse caso, dizemos que $(X,\tau)$ é um espaço **separável**, como é mais conhecido.
</WRAP>

O segundo axioma de enumerabilidade que trata de [[topologia:basesenumeraveis|bases enumeráveis]] implica no terceiro axioma de enumerabilidade.

\\ === Proposição 2 ===
<WRAP round box 80%>
Se um espaço topológico $(X,\tau)$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, então ele é separável.
[[.:dem:demoprop1|Demonstração]]
</WRAP>


\\ === Exemplo ===
Todo [[topologia:subespaco|subespaço]] de um espaço que tenha [[topologia:bases|base]] enumerável é separável. [[.:dem:exemploBES|Demonstração]]

\\ <WRAP tip round box 80%>
A [[topologia:exemplo:retadesorgenfrey|Reta de Sorgenfrey]] e o [[topologia:exemplo:planoniemytski|Plano de Niemytski]] são separáveis, mas não têm base enumerável. A volta da proposição acima não é válida, exceto quando temos espaços métricos [[topologia:metricoseparavel|(Espaço métrico separável)]].
</WRAP>



\\ Existe uma relação entre os três axiomas de enumerabilidade:

<WRAP center round box 50%>
separável     $\Leftarrow$     segundo axioma de enumerabilidade     $\Rightarrow$     primeiro axioma de enumerabilidade
</WRAP>

\\ Veja também:

  * [[topologia:espacoMetrico|Espaço métrico]]