==== Alguns resultados sobre grafos planares ====


<WRAP round box 100%>
=== Corolário ===
//A fronteira de uma face é sempre o conjunto de pontos de um subgrafo.//
</WRAP>


O subgrafo de $G$ cujo conjunto de pontos é a fronteira de uma face $f$ diz-se que **limita** $f$ e é chamado de **limite**; nós o denotamos por $G[f]$. Diz-se que uma face é **incidente** com os vértices e arestas de seu limite. Pelo [[grafos:topintrod#lema_1 | Lema 1 $(ii)$]], toda face de $G$ é também uma face de seu limite; usaremos esse fato frequentemente nas provas que virão.

----

<WRAP round box 100%>
=== Proposição 1 ===
//Uma floresta plana tem exatamente uma face.//
</WRAP>

<WRAP round box 100%>
**//Demonstração://** A prova desta proposição é obtida usando indução no número de arestas e o [[grafos:pretopology#lema_2| Lema 2]].


<wrap right>$\square$</wrap>
</WRAP>

----

Com apenas uma exceção, faces diferentes de um grafo plano têm limites diferentes:

<WRAP round box 100%>
=== Lema ===
// Se um grafo plano tiver faces diferentes com o mesmo limite, então o grafo é um ciclo.//
</WRAP>

<WRAP round box 100%>
**//Demonstração://** Seja $G$ um grafo plano , e seja $H \subseteq G$ o limite de faces distintas $f_1,f_2$ de $G$. Como $f_1$ e $f_2$ também são faces de $H$, a Proposição 1 acima implica que $H$ contém um ciclo $C$. Pelo [[grafos:topintrod#lema_2 | Lema 2 $(ii)$]] , $f_1$ e $f_2$ estão contidos em diferentes faces de $C$. Visto que $f_1$ e $f_2$ têm todo o $H$ como limite,isso implica que $H = C$: qualquer outro vértice ou aresta de $H$ estaria em uma das faces de $C$ e, portanto, não no limite da outra. Assim, $f_1$ e $f_2$ são faces distintas de $C$. Como $C$ tem apenas duas faces, segue-se que $f_1 \cup C \cup f_2 = \mathbb{R}^2$ e, portanto, $G=C$.


<wrap right>$\square$</wrap>
</WRAP>

----

<WRAP round box 100%>
=== Proposição 2 ===
//Em um grafo plano $2$-conexo, cada face é limitada por um ciclo.//
</WRAP>

<WRAP round box 100%>
**//Demonstração://** Seja $f$ uma face em um grafo plano $2$-conexo $G$. Mostramos por indução em $||G||$ que $G[f]$ é um ciclo. Se $G$ é ele próprio um ciclo, isto é válido pelo [[grafos:pretopology#teorema_da_curva_de_jordan_para_poligonos | Teorema da curva de Jordan]] ; portanto, assumimos que $G$ não é um ciclo.

Pela [[grafos:2conexo#proposicao | Proposição]], existe um grafo plano $2$-conexo $H \subseteq G$ e um $H$-caminho plano $P$ tal que $G = H \cup P$. O interior de $P$ está em uma face $f'$ de $H$, que pela hipótese de indução é limitada por um ciclo $C$.

Se $G[f] \subseteq H$, então, pelo [[grafos:topintrod#lema_1| Lema 1 $(ii)$]], $f$ também é uma face de $H$, e estamos em casa pela hipótese de indução. Se $G[f] \not \subseteq H$, então $G[f]$ encontra $P \setminus H$, então $f \subseteq f'$ e $G[f] \subseteq C \cup P$. Pelo [[grafos:topintrod#lema_1| Lema 1 $(ii)$]], então , $f$ é uma face de $C \cup P$ e portanto limitada por um ciclo, de acordo com o  [[grafos:pretopology#lema_1 | Lema 1 $(i)$]].


<wrap right>$\square$</wrap>
</WRAP>

----

<WRAP round info>
=== Referências ===
  * Reinhard Diestel. [[https://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/preview/Ch4.pdf |“Graph Theory”]] .5th Electronic Edition 2016, pp. 94-95. Acesso em 10/04/2024.

</WRAP>