Demonstração ii):

Seja $C$ uma componente conexa de $G-S$, e seja $x$ um elemento minimal de $V(C)$. Note que $V(C)$ não possui outro elemento minimal, pois se este fosse o caso e $x'$ também fosse minimal, teríamos $x$ e $x'$ incomparáveis e portanto ligados por um elemento $y$ tal que $y<x$ e $y<x'$, com $y\in S$ (já que são minimais), porém, como $C$ é conexo, existe um caminho $x-x'$ em $C$, note que por $T$ ser árvore normal em $G$ isto gera uma contradição, pois ou há um ciclo em $T$, ou um $T$-caminho ligando elementos incomparáveis. Por este mesmo argumento, todo elemento em $C$ é comparável a $x$, já que $T$ é árvore geradora de $G$.
Desta maneira, seja $x$ o minimal em $C$, todo vértice $y\in V(C) \iff y\in \lfloor x \rfloor$.

Falta mostrar que: $x$ minimal em $C \Rightarrow x$ minimal em $T-S$.

De fato, pois os vértices abaixo de x formam um cadeia $\lceil t \rceil \subset V(T)$. Como $t$ é vizinho de $x$ e $t \notin \lfloor x \rfloor$ temos que $t \in S$ (pela maximalidade de $C$, por ser componente conexa) completando assim a prova.

Temos, portanto, cada componente $C$, gerada por seu respectivo $x$ (i.e. $C=\lfloor x \rfloor$) minimal em $C$ e por consequência em $T-S$ como queríamos.