====== Número cromático do plano ====== Comecemos notando que o plano, $\mathbb{R}^2$, pode ser visto como um grafo em que cada ponto representa um vértice e arestas são segmentos de retas ligando dois pontos.\\ O número cromático do plano, denotado por $\chi(\mathbb{R}^2)$, é a quantidade mínima de cores suficientes para colorir o plano de modo que, para todo ponto de uma determinada cor, não exista nenhum ponto desta mesma cor a uma distância unitária dele. Noutras palavras, dados dois pontos a uma distância unitária, esses dois pontos têm cores distintas. ===== Soluções parciais ===== Até hoje não se sabe a resposta exata mas sabemos, com certeza, que $5\le\chi(\mathbb{R}^2)\le7$. A seguir, mostraremos como são encontradas essas limitações para $\chi(\mathbb{R}^2)$. ---- === Limitantes Superiores === Não é difícil apresentar quantidades de cores que são suficientes para colorir o plano de forma a satisfazer as regras do enunciado. O real desafio é encontrar o número **mínimo** de cores necessárias. A fim de encontrar um valor preciso para o número cromático, faz sentido que limitemos --- superior e inferiormente --- $\chi(\mathbb{R}^2)$. Para obter bons limitantes superiores basta que organizemos as cores de forma inteligente. A seguir mostraremos uma prova para $\chi(\mathbb{R}^2)\le9$ e, em seguida, para $\chi(\mathbb{R}^2)\le7$, que é o melhor limitante superior apresentado até o momento. Note que, se particionarmos o plano em quadrados iguais tais que a circunferência que os circunscreve tenha diâmetro $d:$ $\frac{\sqrt{2}}{2}