==== Teorema de Kuratowski 1930; Wagner 1937 ====

<WRAP round box>
=== Teorema ===
//Um corolário dos resultados anteriores é a equivalência das seguintes afirmações://

$(i)$ //$G$ é planar;//

$(ii)$ //$G$ não contém $K^{5}, K_{3,3}$ como minor;//

$(iii)$ //$G$ não contém $K^{5}$, $K_{3,3}$ como minor topológico;//

</WRAP>

<WRAP round box 100%>
//**Demonstração:**//
Este resultado sai combinando o [[grafos:eulersform#corolario_2 |Corolário 2]] com os Lemas: [[grafos:graphplanar#lema_1 | Lema 1]],  [[grafos:graphplanar#lema_2 | Lema 2]] e  [[grafos:lema1planar#lema_2 | Lema]].

<wrap right>$\square$</wrap>
</WRAP>

----

<WRAP round box 100%>
=== Corolário ===
//Todo grafo planar maximal com pelo menos quatro vértices é $3$-conexo.//
</WRAP>

<WRAP round box 100%>
//**Demonstração:**//

O resultado sai aplicando-se o [[grafos:lema1planar#lema_2 | Lema 2]] e o Teorema acima.

<wrap right>$\square$</wrap>
</WRAP>

----

<WRAP round info>
=== Referências ===
  * Reinhard Diestel. [[https://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/preview/Ch4.pdf |“Graph Theory”]] .5th Electronic Edition 2016, pp. 107. Acesso em 20/04/2023.

</WRAP>