===== O Grafo Conexo =====

<WRAP round box 80%>
=== Definição ===
//Um grafo $G$ é dito conexo se não for vazio e se, para todo par de vértices distintos $u,v \in V(G)$ distintos, existir um [[.defCaminho|caminho]] entre eles. Um grafo que não é conexo é dito desconexo.//
</WRAP>

O grafo abaixo por exemplo é um **grafo conexo:**

{{:grafos:graph_13_.png?300|}}

E o pŕoximo, é um exemplo de **grafo desconexo:**

{{:grafos:graph_14_.png?300|}}

\\

Mas como determinar se um dado grafo $G$ qualquer, é conexo ou não?

<WRAP round box 90%>
=== Teorema ===
//Um grafo $G=(V, A)$ é desconexo se, e somente se, seu conjunto de vértices $V$ puder ser particionado em dois conjuntos disjuntos e não-vazios, $V_1$ e $V_2$, de forma que não exista uma aresta com uma extremidade em $V_1$ e outra extremidade em $V_2$.//
</WRAP>

<WRAP round box 100%>
== Demonstração ==
$[\Rightarrow]$ Suponhamos que $G$ seja desconexo e mostremos que existe uma partição de $V$, $V_1$ e $V_2$, tal que não existe uma aresta com uma extremidade em $V_1$ e outra extremidade em $V_2$. 

Seja então $G$ um grafo desconexo. Precisamos encontrar uma partição de $V$ que satisfaça a propriedade acima. Considere um vértice $v ∈ V$ qualquer. Forme o conjunto $V_1$ com todos os vértices de $V$ que estejam ligados a $v$ por um caminho. 

Como $G$ é desconexo, $V_1$ não contém todos os vértices de $G$. Assim os vértices restantes formam um conjunto não-vazio $V_2$, e não existe nenhuma aresta de $G$ com uma extremidade em $V_1$ e outra em $V_2$. Portanto $V_1$ e $V_2$ formam a partição desejada.

$[\Leftarrow]$ Suponhamos que exista uma partição de $V$, $V_1$ e $V_2$, tal que não existe uma aresta com uma extremidade em $V_1$ e outra extremidade em $V_2$ e mostremos que $G$ é desconexo. 

Considere dois vértices arbitrários $v,w ∈ V$ tais que $v ∈ V_1$ e $w ∈ V_2$. Não pode existir nenhum caminho entre $v$ e $w$, pois se existisse, haveria uma aresta com uma extremidade em $V_1$ e outra em $V_2$. Portanto se uma tal partição existe o grafo é desconexo.

<wrap right>$\square$</wrap>
</WRAP>

===== Componente Conexa =====

<WRAP round box 80%>
=== Definição ===
//As **componentes conexas** de um grafo $G$ são seus pedaços que são isoladamente [[.defConexo|conexos]]. Assim sendo, as componentes conexas de $G$ são [[.subgrafos| subgrafos]] de $G$ que são conexos.//
</WRAP>

Na imagem abaixo, $4 \to 5 \to 6$ e $6 \to 8 \to 9$ são exemplos de componentes conexas.

{{ :grafos:compcon.png }} 

----
<WRAP round info 100%>
=== Referências ===
  * Valeriano A. de Oliveira, Socorro Rangel, Silvio A. de Araújo.[[https://www.ibilce.unesp.br/Home/Departamentos/MatematicaAplicada/docentes/socorro/grafosconexos.pdf|"Teoria dos Grafos: Grafos Conexos"]] .2002-2013. Acesso em 16/09/2022.
</WRAP>