==== Algumas propriedades de árvores normais ====
Anteiormente, estudamos a definição do que consiste uma [[.arvorenormal | árvore normal]]. Nesta seção, explicitaremos algumas propriedades que elas podem ter.
Uma árvore normal $T$ em $G$ pode ser uma ferramenta poderosa para examinar a estrutura de $G$, porque $G$ reflete as propriedades de separação de $T$:
=== Lema ===
//Seja $T$ uma árvore normal em $G$. Temos://
$(i)$ //Quaisquer dois vértices $x,y \in T$ são separados em $G$ pelo conjunto [[.deffechobaixo |$\lceil x\rceil\cap \lceil y\rceil$]];//
$(ii)$ //Se $S \subseteq V(T) = V(G)$, ou seja, se $T$ é [[.defgerador | árvore geradora]] de $G$, e $S$ é [[.deffechobaixo | fechado para baixo]] , então as [[.defcompcon | componentes conexas]] de $G-S$ são geradas pelos conjuntos [[.deffechocima | $\lfloor x\rfloor$]] com $x$ minimal em $T-S$. Isto é, todo $C$ componente conexa de $G-S$ satisfaz $V(C)=\lfloor x\rfloor$ com $x$ minimal em $C$//.
**//Demonstração://**
$(i)$ Seja $P$ um [[.defCaminho|caminho]] qualquer de $x$ a $y$ em $G$, vamos mostrar que $P$ passa por $\lceil x\rceil \cap \lceil y\rceil$. Se $x$ é comparável a $y$, acabamos, pois $y \in \lceil x\rceil$ ou $x \in \lceil y\rceil$.
Caso contrário, seja $t_1,...,t_n$ uma sequência minimal de vértices em $P\cap T$ tais que $t_1=x$ e $t_n = y$ satisfazendo $t_i$ comparável a $t_{i+1}$ para todo $i$ na ordem de $T$. (Esta sequêcia existe, haja vista que o conjunto de todos os vértices em $P \cap T$,em sua ordem natural conforme ocorrem em $P$, tem esta propriedade porque $T$ é normal e todo segmento $t_iPt_{i+1}$ está contido em $T$ ou é em um $T$-caminho)
(Note ainda que cada $t_i$, que não seja $x$ ou $y$, está na "bifurcação" dos "ramos" visto que para ir de um "ramo" para outro por vértices satisfazendo $t_i$ comparável a $t_{i+1}, \forall i$, se faz necessário passar por estas "bifurcações".)
Observe, por sua vez, que em nossa sequência mínima não podemos ter $t_{i-1}t_{i+1}$, para qualquer $i$, pois teríamos a existência de $rTt_{i-1}Tt_i$ e de $rTt_{i+1}Tt_i$, mas como $rTt_i$ há de ser um caminho único, ou $\exists rTt_{i-1}Tt_{i+1}$ ou $\exists rTt_{i+1}Tt_{i-1}$, de qualquer maneira, $t_{i-1}$ é comparável com $t_{i+1}$, o que faz $t_i$ ser desnecessário, contrariando a proposição da sequência ser minimal.
Tem-se, portanto:
$$x=t_1>...>t_k<...$\square$
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As árvores geradoras normais também são chamadas de **árvores de pesquisa em profundidade**, devido à maneira como surgem em pesquisas feitas sobre grafos nos computadores. Este fato é frequentemente usado para provar sua existência. A seguinte prova construtiva esclarece melhor como as árvores normais capturam a estrutura de seus grafos hospedeiros
=== Proposição ===
//Todo grafo [[.defconexo | conexo]] contém uma árvore geradora normal com qualquer um de seus vértices como [[.defraiz | raiz]].//
//**Demonstração:**//
Seja $G$ um grafo conexo e $r \in G$ um seu vértice qualquer. Seja $T$ a árvore maximal normal com raiz em $r$, vamos mostrar que $V(T)=V(G)$.
Suponha que não, e seja $C$ um componente de $G-T$. Como $T$ é normal, $N(C)$ é uma cadeia em $T$(se não fosse e existissem vértices incomparáveis em $N(C)$ existiria um $T$-caminho ligando-os por $C$). Seja, então, $x \in N(C)$ uma folha de $T$, isto é, seu maior elemento, e $y \in C$ adjacente a $x$. Mostraremos que $T':=T \cup \{y\}$ (com a aresta $x-y$) com raiz em $r$ é também árvore normal em $G$.
Seja $P$ um $T'$-caminho em $G$. Se as extremidades de $P$ estão em $T$, então $P$ é um $T$-caminho e como $T$ é normal em $G$ as extremidades são comparáveis. Se não, uma das extremidades é $y$. Suponhamos que $P$ ligue $y$ a um elemento $z \in T \subset T'$ incomparável a $y$, então existiria $T$-caminho $P'$ tal que $zP'yP'x$, contradição! Portanto $T'$ é normal em $G$, contrariando $T$ maximal e terminamos.
$\square$
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[[.tessssteee | teste]]