=====Valor Booleano=====

O objetivo desse processo é calcular o valor de $[\![ \varphi ]\!]$ para tal fórmula $\varphi$ da teoria dos conjunto, esse processo será feito pela indução na complexidade das fórmulas. Outra coisa a se notar é que as fórmulas aqui não falarão mais sobre conjuntos, mas sim sobre nomes para conjuntos.

Os valores atribuídos para cada fórmula será um elemento da álgebra de Boole fixada, podemos assim interpretar 1 como verdadeiro e 0 como falso, dessa forma, se temos duas fórmulas $\varphi$ e $\psi$ tal que $[\![\varphi\implies\psi]\!]$, então $[\![\varphi]\!] \leq [\![\psi]\!]$, em particular, se $[\![\varphi]\!] = 1$, então $[\![\psi]\!] = 1$.

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Sejam $x, y$ nomes, vamos definir:

  * $\displaystyle [\![ x \in y ]\!] = \sup_{t \in \text{dom}(y)}y(t)[\![ x = t ]\!]$
  * $\displaystyle [\![ x \subset y ]\!] = \inf_{t \in \text{dom}(x)} (x(t) \Rightarrow [\![ t \in y ]\!])$
  * $[\![ x = y ]\!] = [\![ x \subset y ]\!] [\![ y \subset x ]\!]$

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Como descrito anteriormente iremos utilizar o processo de indução sobre a complexidade das fórmulas, dessa forma vamos mostrar que $[\![ \emptyset = \emptyset ]\!] = 1$:
$$
\begin{array}{ll}
 [\![ \emptyset = \emptyset ]\!] = [\![ \emptyset \subset \emptyset ]\!][\![ \emptyset \subset \emptyset ]\!]= [\![ \emptyset \subset \emptyset ]\!] = \displaystyle\inf_{t \in dom(\emptyset)} (\emptyset(t) \implies |t \in \emptyset|) = \displaystyle\inf_{t \in dom(\emptyset)} \emptyset = 1
\end{array}
$$

Trabalhamos essas "contas" da mesma maneira como são trabalhados elementos de uma [[conjuntos:algebraBoole|Álgebra de Boole]].

Agora para mostrar melhor o processo de indução vamos mostrar que $[\![ x = x ]\!] = 1$:
$$
\begin{array}{ll}
     [\![ x = x ]\!] &= [\![ x \subset x ]\!][\![ x \subset x ]\!] = [\![ x \subset x ]\!] = \displaystyle \inf_{t \in dom(x)} (x(t) \implies [\![ t \in x ]\!]) = \displaystyle \inf_{t \in dom(x)}\left(x(t) \implies \sup_{\sigma \in dom(x)} [\![ t = \sigma ]\!] x(\sigma)\right)
\end{array}
$$ 
   * Vamos notar que $t \in dom(x)$, assim $x(t) \leq \displaystyle\sup_{\sigma \in dom(x)}[\![ t = \sigma ]\!]x(\sigma)$

<WRAP tip>
Vamos usar agora que $a \implies b = 1$, se, e somente se, $a \leq b$. <wrap help>[[solucao:soltipboolealg|Solução]]</wrap>
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   * Portanto $x(t) \implies \displaystyle\sup_{\sigma \in dom(x)}[\![ t = \sigma ]\!]x(\sigma) = 1$, assim $[\![ x = x ]\!] = \displaystyle \inf_{t \in dom(x)} 1 = 1$ 

<WRAP info>
Sejam $a, b, c$ nomes.
  * $[\![ a = b ]\!] [\![ b = c ]\!] \leq [\![ a = c ]\!]$ <wrap help>[[solucao:solequi1valoformul|Solução]]</wrap>
  * $[\![ a \in b ]\!] [\![ a = c ]\!] \leq [\![ c \in b ]\!]$
  * $[\![ a \in b ]\!] [\![ b = c ]\!] \leq [\![ a \in c ]\!]$
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<WRAP info>
Dada uma fórmula $\varphi(x_1, ..., x_n)$ onde $x_1, ..., x_n$ são as variáveis livres de $\varphi$ e dados $\sigma_1, ..., \sigma_n$ nomes, definimos $[\![ \varphi(\sigma_1, ..., \sigma_n) ]\!]$ por indução na complexidade de $\varphi$ da seguinte forma:
  * Se $\varphi$ é da forma $x_1 = x_2$ ou $x_1 \in x_2$, procedemos como anteriormente.
  * Se $\varphi$ é da forma \(\psi_1(x_1,\dots,x_n) \vee \psi_2(x_1,\dots,x_n)\), então  $[\![ \varphi(\tau_1,\dots,\tau_n) ]\!] = [\![ \psi_1(\tau_1,\dots,\tau_n) ]\!]+[\![ \psi_2(\tau_1,\dots,\tau_n) ]\!]$
  * Se $\varphi$ é da forma $\neg \psi(x_1, ..., x_n)$, então $[\![ \varphi(\sigma_1, ..., \sigma_n) ]\!] = - [\![ \psi(\sigma_1, ..., \sigma_n) ]\!]$. 
  * Se $\varphi$ é da forma $\psi_1(x_1, ..., x_n) \land \psi_2(x_1, ..., x_n)$, então $[\![ \varphi(\sigma_1, ..., \sigma_n) ]\!] = [\![ \psi_1(\sigma_1, ..., \sigma_n) ]\!] [\![ \psi_2(\sigma_1, ..., \sigma_n) ]\!]$. 
  * Se $\varphi$ é da forma $\exists y \psi(y, x_1, ..., x_n)$, então $\displaystyle [\![ \varphi(\sigma_1, ..., \sigma_n) ]\!] = \sup_{\tau}[\![ \psi(\tau, \sigma_1, ..., \sigma_n) ]\!]$
  * Se $\varphi$ é da forma \(\forall y \,\psi(y,x_1,\dots,x_n)\), então $[\![ \varphi(\tau_1,\dots,\tau_n) ]\!] = \inf_{\sigma} [\![ \psi(\sigma, \tau_1,\dots,\tau_n) ]\!]$
 
</WRAP>
<WRAP info>

===Proposição===

Sejam $\varphi$ e $\psi$ fórmulas, então $[\![ \varphi\implies \psi ]\!] = 1$, se, e somente se, $[\![ \varphi ]\!] \leq [\![ \psi ]\!]$ <wrap help>[[solucao:solprop1valoformul|Solução]]</wrap>

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Como dito anteriormente, o valor booleano de um axioma do ZFC é sempre 1, assim para completar nosso estudo, vamos calcular o valor do axioma do par:
  * Seja $\varphi$ o axioma do par, ou seja, $\forall x \forall y \exists \space (x \in z)\wedge (y \in z)$
  * Dessa forma valor calcular seu valor booleano:
$$[\![ \varphi]\!] = [\![ \forall x \forall y \exists \space (x \in z)\wedge (y \in z)]\!]$$
$$[\![ \varphi]\!] = \displaystyle \inf_\tau \inf_\sigma \sup_\rho [\![ \tau \in \rho]\!][\![ \sigma\in\rho]\!]$$
  * Notemos que tomando o nome $\rho' = \{\{\tau,1\}\{\sigma,1\}\}$ temos que $[\![\tau \in \rho']\!]=[\![ \sigma \in \rho']\!]=1$, assim, realizando as contas temos que $[\![ \varphi]\!]=1$ <wrap right>$\square$</wrap>