=== $\mathbb{R}^n$ é localmente conexo por caminhos ===
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Dado $x \in \mathbb{R}^n$, então o conjunto $\mathcal{B}=\lbrace B_{\frac{1}{m}}(x): m \in \mathbb{N}_{>0}\rbrace$ é uma base local enumerável  para $x$ ([[ex:rn:bslocalenumeravel|cf]]). Portanto, basta mostrar que toda bola aberta $B_r(a)$, $r>0$, é um conjunto conexo por caminhos. Dados $x, \; y \in B$, temos que $|x-a|<r$ e $|y-b|<r$. Logo, para todo $t \in [0,1]$, temos que $$|(1-t)x+ty-x| = |(1-t)(x-a)+t(y-a)| \leq (1-t)|x-a|+t|y-a| \leq (1-t)r+tr=r.$$ Logo, está bem definido o caminho contínuo $f:[0,1] \to B_r(a)$ definido por $f(t)=(1-t)x+ty$. Portanto, 
a bola aberta $B_r(a)$ é conexa por caminhos.