===$\mathbb{R}^n$ possui base local enumerável===
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Para cada $x \in \mathbb{R}^n$, considere $\mathcal{B}=\lbrace B_{\frac{1}{m}}(x): m \in \mathbb{N}_{>0}\rbrace$. Vamos mostrar que $\mathcal{B}$ é uma base local para $x$. É evidente que, para cada $m \in \mathbb{N}_{>0}$, $x \in B_{\frac{1}{m}}(x)$ que é aberto. Agora, dado $A \subset \mathbb{R}^n$ aberto tal que $x \in A$, então existe $\varepsilon>0$ tal que $B_{\varepsilon}(x) \subset A$. Seja $m \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{m}<\varepsilon$. Então, $B_{\frac{1}{m}}(x) \subset B_{\varepsilon}(x) \subset A$.