=== Todas as métricas no $\mathbb{R}^n$ são equivalentes ===

**Demonstração:** Para mostrar este resultado, vamos provar que todas as normas em $\mathbb{R}^2$, os casos em que $n>2$ são análogos, são equivalentes a norma 1, dada por,

\[
||(x, y)||_1 = |x|+|y|
\]


Mostremos primeiro que a função $||\cdot||:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ é uma função contínua. Dado $\varepsilon>0$, seja $K = \max\{||(1, 0||, ||(0, 1)||\}$. Tome $\delta=\frac{\varepsilon}{K}$. Nessas condições, fixado $(a, b) \in \mathbb{R}^2$, para todo $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ tal que $||(x, y)-(a, b)||_1<\delta$, tem-se

\[
    ||(x, y)-(a, b)||=||(x-a, y-b)||=||(x-a)(1, 0)+(y-b)(0, 1)||\le |x-a|||(1, 0)|| + |y-b|||(0, 1)||\le K(|x-a|+|y-b|)=K||(x, y)-(a, b)||_1 < K\delta = \varepsilon
\]

Agora, seja $U = \{(x, y):||(x, y)||_1=1\}$, note que $U$ é compacto com a topologia produto e que $\frac{(x, y)}{||(x, y)||_1} \in U$. Assim, pelo teorema de Weierstrass, $||\cdot||$ admite pontos de máximo $M$ e de mínimo $m$, portanto

\[
m \le \frac{||(x, y)||}{||(x, y)||_1} \le M \Rightarrow m||(x, y)||_1 \le ||(x, y)|| \le M||(x, y)||_1
\]

Logo, todas as métricas em $\mathbb{R}^2$ são equivalentes.