=== O conjunto $S^1 = \{(x, y):x^2+y^2=1\}$ não é homeomorfo a qualquer subespaço de $\mathbb{R}$ ===

Seja $f:S^1 \rightarrow \mathbb{R}$ uma função contínua e bijetora, como $S^1$ é conexo segue que $f(S^1)$ é um intervalo, além disso, como $S^1$ é compacto temos que $f(S^1) = [a, b]$ um intervalo fechado e limitado. Seja $\alpha \in S^1$ tal que $\beta = f(\alpha) \notin f^{-1}(\{a, b\})$, logo $a<\beta<b$. Considere $g$ a restrição da $f$ ao conjunto $S^1 \setminus \{\alpha\}$, note que $g$ é homeomorfismo, nessas condições existe um homeomorfismo entre um conjunto conexo, $S^1 \setminus \{\alpha\}$, e um não-conexo $[a, \beta) \cup (\beta, b]$, uma contradição. Logo, não existe um homeomorfismo entre $S^1$ e qualquer subconjunto da reta real.