=== $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}^2$ não são homeomorfos ===

Suponha que exista uma $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ contínua e bijetora, e seja $\alpha \in \mathbb{R}$ e $f(\alpha) = \beta \in \mathbb{R}^2$. Defina $g:\mathbb{R} \setminus \{\alpha\} \rightarrow \mathbb{R}^2 \setminus \{\beta\}$ a restrição da $f$ ao complementar do conjunto $\{\alpha\}$, note que $g$ é contínua e bijetora, e portanto um homeomorfismo. Mas, $\mathbb{R} \setminus \{\alpha\}$ não é um conjunto conexo, logo existe um homeomorfismo entre um conjunto conexo e um não-conexo, uma contradição. Portanto, não existe um homeomorfismo entre $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}^2$.