Dado $D=\{y \in Y : f(y) = g(y)\}$, seja $y \in D$. 
Como $f$ (ou $g$) é um levantamento para $\phi$  e  $ p: X \rightarrow \tilde{X}$ é um espaço de recobrimento, seja $A \subset X$ aberto tal que $\phi(y) = p(f(y)) \in A$ e $A_i \subset \tilde{X}$ aberto e homeomorfo à $A$ e $f(y) \in A_i$. 

Dado que $f, g$ são contínuas, $\exists$  $V, W$ abertos tais que $f[V], g[W] \subset A_i$ e que $y \in V, W$. 
Assim, note que, dado $z \in V \cap W$:

$\phi(z) = p(f(z)) =  p_i(f(z)) = p_i(g(z)) = p(g(z))$, onde $p_i$ é o homeomorfismo associado à $A_i \supset f[V], g[W]$.

$\Rightarrow$ $p_i^{-1}(p_i(f(z))) = p_i^{-1}(p_i(g(z)))$

$\Rightarrow$  $f(z) = g(z)$

E então, $V \cap W \subset D $

Como $y \in V \cap W \subset D$ e $V \cap W$ é aberto, todo $y \in D$ admite $Z \ni y $ aberto tal que $Z \subset D$. Logo, $D$ é aberto.