==== Toda cobertura aberta de um espaço métrico compacto admite um número de Lebesgue ====

**Definição.** Seja $\mathcal{C}$ uma cobertura aberta para um espaço métrico $X$. Dizemos que $\varepsilon$ é um **número de Lebesgue** para $\mathcal{C}$ se, para todo conjunto $A \subset X$ com diâmetro menor do que $\varepsilon$, temos que existe $C \in \mathcal{C}$ tal que $A \subset C$. 

**Proposição.** Se $X$ é um espaço métrico compacto, então toda cobertura aberta de $X$ admite um número de Lebesgue. 

//Demonstração.// Por absurdo, suponhamos que existe uma cobertura aberta $\mathcal{C}$ de $X$ que não admite número de Lebesgue. Logo, para cada $n \in \mathbb{N}$, $\frac{1}{n}$ não é um número de Lebesgue de $\mathcal{C}$. Sendo assim, existe um subconjunto $A_n \subset X$ tal que $diam(A_n)< \frac{1}{n}$, mas $A_n$ não está contido em nenhum $C \in \mathcal{C}$, em particular, $A_n \neq \emptyset$. Para cada $n \in \mathbb{N}$, tome $x_n \in A_n$ e considere a sequência $ (x_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Vamos mostrar que esta sequência não admite subsequência convergente, contrariando o fato de $X$ ser compacto. Com efeito, suponha que $x_{n_k} \to x$, para algum $x \in X$. Como $\mathcal{C}$ cobre $X$, existe $C \in \mathcal{C}$ tal que $x \in C$ e $\varepsilon > 0$ tal que $B(x, \varepsilon) \subset C$. Agora, fixemos $N \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{N} < \frac{\varepsilon}{2}$. Como $x_{n_k} \to x$, então $x_{n_k} \in B(x,\frac{\varepsilon}{2})$, para todo $k$ suficientemente grande. Assim, podemos tomar termos da sequência $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de ordem arbitrariamente grande em $B(x,\frac{\varepsilon}{2})$. Suponhamos $n_0>N$ e $x_{n_0} \in B(x, \frac{\varepsilon}{2})$. Assim, dado $y \in A_{n_0}$, temos que:
$$d(y,x) \leq d(y,x_{n_0})+d(x_{n_0},x)< diam(A_{n_0})+ \frac{\varepsilon}{2}< \frac{1}{n_0}+\frac{\varepsilon}{2} <  \frac{1}{N} + \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon  $$.
Neste caso, $A_{n_0} \subset B(x,\varepsilon)\subset C $, contrariando escolha de $A_{n_0}$.