=== Função base 13 de Conway ===

Considere os algarismos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, -, ;$ e para cada $x \in \mathbb{R}$ expresso nesta base, considere a função

\[
f(x) = \begin{cases}
            a_1\dots a_n,b_1\dots, \text{se a expansão de}\; x\; \text{termina em}\; +a_1\dots a_n;b_1\dots \\
            -a_1\dots a_n,b_1\dots, \text{se a expansão de}\; x\; \text{termina em}\; -a_1\dots a_n;b_1\dots \\
            0, \text{caso contrário}
       \end{cases}
\]

Notemos que $f$ é sobrejetora, além disso, dados $a<b \in \mathbb{R}$ tem-se que $f([a, b]) = \mathbb{R}$. Para mostrar esse resultado, considere as expansões de $a$ e $b$ na base 13:
\[
a = \alpha_1\dots\alpha_nA_1A_2\dots \\
b = \alpha_1\dots\alpha_nB_1B_2\dots
\]
Em que $A_1 < B_1$. Agora dado um número real $c$ qualquer cuja expansão na base decimal tem a forma:
\[
    c = \pm\gamma_1\dots\gamma_k, \phi_1\phi_2 \dots
\]

Como a expansão não pode terminar em $;;;\dots$, existe um $A_j$ tal que $A_j \ne ;$, assim se tomarmos $x = \alpha_1\dots\alpha_nA_1\dots A_{j-1};\pm\gamma_1\dots\gamma_k; \phi_1 \dots$ segue que $x \in (a, b)$ e $f(x)=c$ e portanto $f([a, b]) = \mathbb{R}$.

Essa condição nos garante que $f$ é descontínua em todos os pontos e com isso temos um exemplo de função descontínua que leva conjuntos conexos em conexos.