**Proposição.** Sejam $(X, \tau)$ um espaço compacto de Hausdorff e $F \subset X$ um conjunto. Então, $F$ é fechado se, e somente se, $F$ é compacto. 

**Demonstração:** Provamos anteriormente que, nestas hipóteses, se $F$ é fechado então $F$ é compacto (nesta parte $X$ não precisa ser Hausdorff). Agora, supondo $F$ compacto e lembrando que [[topologia:separacompacto| Espaços de Hausdorff separam pontos de compactos]], então caso $x \in X-F$ temos que existe $A$ aberto tal que $x \in A \subset X-F$, ou seja, $X-F$ é aberto e $F$ é fechado.