Seja $D=\{d \in Y : f(d) = g(d)\}$ e $y \in Y \diagup D$, isto é, $f(y) \neq g(y)$.

Como  $ p: X \rightarrow \tilde{X}$ é um espaço de recobrimento, seja $A \subset X$ aberto tal que $p(f(y)) \in A$.

Por $f$ e $g$ serem um levantamentos para $\varphi$, $p(f(y)) = \varphi(y) = p(g(y))$. Assim, $\exists A_i$, $A_j \subset \tilde{X}$ distintos tais que $f(y) \in A_i$ e $g(y) \in A_j$.

Como $f, g$ são contínuas, $\exists V, W \subset Y$ abertos tais que $f[V] \subset A_i$ e $f[W] \subset A_j$ com $y \in V \cap W$. Como $A_i$ e $A_j$ são distintos, $(V \cap W) \cap D = \emptyset$. Assim, $Y \diagdown D$ é aberto e $D$ é fechado. Dado que $Y$ é conexo, a Proposição anterior garante que D é aberto e, logo, $D = Y$ e $f = g$.