**Proposição**: Seja $f:X \rightarrow Y$ contínua e sobrejetora. Se $X$ é conexo por caminhos, então $Y$ também é.

**Demonstração**: Sejam $a,b \in Y$ e $x,y \in X$ tal que $f(x) = a$ e $f(y) = b$. Seja $h:[0,1] \rightarrow X$ contínua tal que $h(0) = x$ e $h(1) = y$, como [[solu:carac3|composição de função contínua é contínua]] temos que a função $f \circ h :[0,1] \rightarrow Y$ é uma função contínua com $f \circ h(0) = a$ e $f \circ h(1) = b$.