**Proposição**: Sejam $(X,d)$ espaço métrico completo e $A \subset X$ aberto. Então $A$ é completamente metrizável.

**Demonstração**: Consideremos $g: X \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $g(x) = d(x,X \setminus a)$. Observemos que tal função é contínua e para todo $a \in A$, como $X \setminus A$ é fechado, temos que $g(a) > 0$(caso contrário $a \in X \setminus A$, o que é um absurdo). Agora consideremos a função $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(a) = \dfrac{1}{g(a)}$. Notemos que tal função está bem definida pois $g(a) > 0 , \ \forall a \in A$, assim temos também que $f(a) > 0, \ \forall a \in A$ e que $f$ é contínua. Consideremos agora o gráfico de $f$ restrito a $A$, isto é, o conjunto $Gr \ f|_{A}= \{ (x,f(x)); x \in A  \} \subset X \times \mathbb{R}$. Como $f$ é contínua e $X \times \mathbb{R}$ é Hausdorff temos que $Gr \ f|_{A}$ é fechado e portanto é completo(lembremos que $Gr \ f|_{A}$ já é metrico pois é subespaço de métrico). Agora notemos que a função $h:A \rightarrow Gr \ f|_{A}$ dada por $h(x) = (x,f(x))$ é um homeomorfismo. De fato, a continuidade vem da continuidade em cada coordenada, a sobrejeção vem da definição de $Gr \ f|_{A}$ e a para a injeção basta observarmos que $h^{-1}(x,f(x)) = \{ x \}$. Com efeito, seja $y \in h^{-1}(x,f(x)) \implies h(y) = (y,f(y)) = (x,f(x)) \implies x = y$. Logo, como $Gr \ f|_{A}$ é completamente metrizável temos que $A$ é completamente metrizável.