Demonstrando a ida :

Se $a \nleqslant b$, $a+b \neq b$.

Multiplicando ambos os lados da igualdade por (-b) :

$(a+b)(-b) \neq b(-b)$

Utilizando as proposições 3 e 5, temos que :

$(a(-b))+(b(-b)) \neq 0$

Pela proposição 5 :

$(a(-b))+0 \neq 0$

$(a(-b)) \neq 0$

Como $a(-b) = a-b$ :
$a-b \neq 0$.

Demonstrando a volta :

Se $a-b \neq 0$, $a(-b) \neq 0$

Somando b aos dois lados da igualdade, temos :

$(a(-b))+b \neq 0+b$

Pela proposição 3 :

$(a(-b))+b = (a+b)(b+(-b)) \neq b$

Pela proposição 5

$(a+b)(b+(-b)) = (a+b)1 \neq b$

$(a+b) \neq b$

Logo, $a \leqslant b$.