Propriedade Reflexiva :

$a.a = a$, logo, $a \leqslant a$

Propriedade Antissimétrica :

Se $a \leqslant b$, $ab = a$

Se $b \leqslant a$, $ba = b$

$ab = ba = a = b$

Logo, $a = b$

Propriedade Transitiva :

Se $a \leqslant b$, $ab = a$

Multiplicando ambos os lados por $c$ :

$(ab)c = ac$

$a(bc) = ac$

Como $b \leqslant c$, $bc = b$

$a(bc) = ab = ac$

Como $ab = a$ :

$ab = ac = a$

Como $ac = a$, $a \leqslant c$