===$a0 = 0$===

Pela proposição 5, $a.(-a) = 0$. Então :

$a.0 = a.(a.(-a))$

Pela proposição 2 :

$a.0 = a.(a.(-a)) = (a.a).(-a)$

Como $a.a = a$ :

$a.0 = (a.a).(-a) = a.(-a)$ 

Pela proposição 5, $a.(-a) = 0$, logo :

$a.0 = 0$, $\blacksquare$.

===$a+1 = 1$===

Pela proposição 5, $a+(-a) = 1$. Então :

$a+1 = a+(a+(-a))$

Pela proposição 2 :

$a+1 = a+(a+(-a)) = (a+a)+(-a)$

Como $a+a = a$ :

$a+1 = (a+a)+(-a) = a+(-a)$

Pela proposição 5, $a+(-a) = 1$, logo :

$a+1 = 1$, $\blacksquare$.