Para que um conjunto seja uma álgebra de Boole, é preciso que a ele pertençam os elementos $0$ e $1$. Logo, temos apenas duas opções : um conjunto com dois elementos distintos sendo eles $0$ e $1$; ou um conjunto com dois eles sendo um deles $0 = 1$ e outro elemento diferente do anterior.  

Se tivéssemos uma álgebra de Boole composta por $0 = 1$ e $a /neq 0 = 1$, teríamos que $0.a = 1.a$. Porém $0.a = 0$ e $1.a = a$ Como $0 = 1$ e $a /neq 0 = 1$, chegamos a um absurdo. 

Logo, se houver uma álgebra de Boole com apenas dois elementos, ela só pode ser $A = \{0,1\}$.

Considere o conjunto $A = \{0,1\}$ munido das operações +, . e - tal que :

1.0 = 0.1 = 0

1+0 = 0+1 = 1

0.0 = 0+0 = 0

1.1 = 1+1 = 1

(-0) = 1

(-1) = 0

Note que $A$ é uma Álgebra de Boole.