topologia:seqcompacto [WikiMat]

==== Sequência de abertos em um compacto ====

Apresentaremos um caso particular de sequências de abertos em um compacto infinito e de Hausdorff.

<WRAP round box 100%> 
=== Exemplo ===
Seja $F$ um espaço topológico compacto, infinito e de Hausdorff. Então, existem uma sequência $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ em $F$, e uma sequência de abertos $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dois a dois disjuntos, com $a_n \in V_n$, para cada $n$ natural. 
</WRAP>

**Demonstração:** A princípio, note que existe $x \in F$ ponto de acumulação. Agora, provemos por indução em $n$. Seja $a_0 \in F$ distinto de $X$. Como $F$ é de Hausdorff, existem abertos $V_0$ e $U_0$ disjuntos, com $a_0 \in V_0$ e $x \in U_0$. Agora, dado $n \in \mathbb{N}$, suponha que existam $a_0, ..., a_{n-1}$ pontos de $F$, $V_0, ..., V_{n-1}$ e $U_0, ..., U_{n-1}$ abertos de $F$, de forma que valham, para todo $0 \leq k \leq n-1$ : 

(i) $a_k \in V_k;$

(ii) $x \in U_k;$

(iii) $V_k \cap U_k = \emptyset,$

e de modo que 

(iv) $V_m \cap V_q$, se $m \neq q$;

(v) $U_m \subset U_p$, se $m \geq p.$

Sendo $x$ ponto de acumulação de $F$, temos que existe $a_n \in U_{n-1}$ distinto de $X$. Logo, por $F$ ser de Hausdorff, existem $V_n$ e $U$ disjuntos de forma que $a_n \in V_n$ e $x \in U$. Ponha $U_n = U \cap U_{n-1}$, sendo esse aberto, temos que os abertos $(V_n)_n$ e a sequência de pontos $(a_n)_n$ nos serve.