topologia:separavelproduto [WikiMat]

=== O produto de espaços separáveis é separável. ===

\\ Se $X_n$ é separável então para cada $n \in \mathbb{N}$, seja $D_n$ um conjunto denso enumerável de $X_n$. Fixe $x=(x_n) \in \prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$. Defina

$D=\{ (y_n): \exists F \subset \mathbb{N}$ finito tal que para todo $n \in F, y_n \in D_n$ e para todo $n \notin F, y_n=x_n\}$  

Ao tomar os pontos $F \in \mathbb{N}$ finito, tomo um suporte finito. Tenho enumeráveis possibilidades de escolha. Daí, $D$ é enumerável.

Note que para ser denso, tome o aberto básico não vazio $\prod_{n \in \mathbb{N}} A_n$ e mostraremos que intercepta o denso.

Seja $F \subset \mathbb{N}$ finito tal que:

  * $n \notin F$, $A_n=X_n$, seja $y_n \in A_n \cap D_n \neq \emptyset$. 
  * $n \in F$, seja $y_n \in A_n \cap D_n \neq \emptyset$

Daí, $(y_n) \in D\cap \prod_{n \in \mathbb{N}} A_n$ onde $y_n=x_n$ se $n \notin F$.