topologia:separacompacto [WikiMat]

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==== Espaços de Hausdorff separam compactos disjuntos ====

Antes de provarmos tal resultado, vejamos que, se um espaço é de [[topologia:espacoHausdorff|Hausdorff]], então ele separa pontos de [[topologia:defcompacto|compactos]].

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=== Lema ===
Seja $(X,\tau)$ um espaço de Hausdorff. Sejam $x \in X$ e $K \subset X$ compacto tal que $x \notin K$. Então existem $A$ e $B$ abertos tais que $ x \in A$ e $K \subset B$ e $A \cap B= \emptyset$. <wrap help>[[demaux:demo1|Demonstração]]</wrap>
</WRAP>

O lema anterior é um caso particular do resultado desejado, tendo em vista que quaisquer espaço topológico finito é compacto. 

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=== Proposição ===
Seja $(X, \tau)$ espaço de Hausdorff. Sejam $F,G \subset X$ compactos disjuntos. Então existem $A,B$ abertos disjuntos tais que $F \subset A$ e $G \subset B$.  <wrap help>[[dem:demoaux2|Demonstração]]</wrap>
</WRAP>


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=== Veja também ===
  * [[topologia:alexandroff| Espaço de Hausdorff é localmente compacto $\Leftrightarrow$ admite uma compactificação de Alexandroff]]
  * [[dem:Hausdorffcompacto->localcompacto| Hausdorff e compacto $\Rightarrow$ localmente compacto]]
  * [[dem:Hausdorfflocalmentecompacto->compregualr| Hausdorff e localmente compacto $\Rightarrow$ completamente regular]]