topologia:reg.enum_norm [WikiMat]

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==== Todo espaço regular enumerável é normal ====

=== Demonstração ===

Seja $(X,\tau)$ um [[topologia:espacoregular| espaço regular]] enumerável. Tome $F,G \subset X$ fechados disjuntos dados por $F=\{ x_n: n \in \mathbb{N}\}$ e $G=\{y_n: n \in \mathbb{N}\}$. Como o espaço é [[topologia:espacoregular| regular]] e enumerável, dado $n \in \mathbb{N}$ existem abertos $A_n,\ B_n$ tais que $x_n \in A_n,\ y_n \in B_n,\ \overline{A_n}\cap F=\emptyset\ e\ \overline{B_n} \cap G=\emptyset$. Defina, para cada $n \in \mathbb{N}$,

$$ A_n^{*}= A_n \smallsetminus \bigcup_{k\leq n}\overline{B_k}\ \  e\ \ B_n^{*}= B_n\smallsetminus \bigcup_{k\leq n} \overline{A_k}$$

Note que, $A_n^{*}$ e $B_n^{*}$  são abertos pois cada um deles é complementar de uma união finita de [[topologia:fecho| fechos]], logo são complementares de conjunto fechado. Considere os abertos $A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n^{*}$  e  $B = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n^{*}$. Então $F \subset A$ e $G \subset B$, em particular, $A_n^{*} \cap F = A_n \cap F$ e $B_n^{*} \cap G = B_n \cap G$.\\
Assim, basta mostrar que $A \cap B = \emptyset$. Suponha $A \cap B \neq \emptyset$, ou seja, que existe $z \in A \cap B$. Então existem $n,m \in \mathbb{N}$ tais que $ z \in A_n^{*} = A_n \smallsetminus \bigcup_{k\leq n}\overline{B_k}\ $  e $ z \in B_m^{*} = B_m \smallsetminus \bigcup_{k \leq m} \overline{A_k}$.
Porém, veja que, se $n \leq m$, $$z \in \overline{A_n} \subset \bigcup_{k \leq m}\overline{A_k}$$ equivalentemente, $$ z \notin B_m^{*}= B_m \smallsetminus\bigcup_{k \leq m}\overline{A_k}$$ o que contradiz a suposição de que $z \in B_m^{*}$. Analogamente, se $ n > m$ temos $z \in \bigcup_{k \leq n}\overline{B_k}$ e então $z \notin A_n^{*}$, contradição. Logo, $A \cap B = \emptyset$.\\ \\
Portanto, $(X, \tau)$ é um [[topologia:espaconormal| espaço normal]].
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Repare na importância das hipóteses. Ser apenas separável, por exemplo, não nos garante o resultado. Um espaço regular não necessariamente é normal, é o que ocorre com o [[topologia:exemplo:planoniemytski| plano de Niemytski]].
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===Veja também:===
  * [[topologia:reg.base_norm|Base enumerável e regular implica normal]];