topologia:prova2parac [WikiMat]

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=== Lema 5: ===
Seja $\mathcal{F}$ localmente finita. Então $\bigcup_{F\in \mathcal{F}}\overline{F}= \overline{\bigcup_{F\in \mathcal{F}}F}$. Em particular, a união de uma família localmente finita fechada é fechada.

Prova: Note que $\bigcup_{F\in \mathcal{F}}\overline{F}=\bigcup_{F\in \mathcal{F}}\{\text{Pontos aderentes de } F\}\subset \{\text{Pontos aderentes de } \bigcup_{F\in \mathcal{F}}F\}$, pois um ponto aderente a algum $F$ é aderente à união dos $F$'s.

Para a outra inclusão, seja $x\in \overline{\bigcup_{F\in \mathcal{F}}F}$ e $A$ aberto tal que $x\in A$ e $\mathcal{F}_0=\{F\in \mathcal{F}: F\cap A \neq \varnothing\}$ é finito.

Note que $x\in \overline{\bigcup_{F\in \mathcal{F}_0}F}$. De fato, se $V$ é aberto e $x\in V$, então $V\cap A$ é aberto e $x\in V\cap A$, donde existe $y\in \bigcup_{F\in \mathcal{F}}F \cap V \cap A$. Pela definição de $\mathcal{F}_0$ é óbvio que $y\in \bigcup_{F\in \mathcal{F}_0}F$, e $y\in V$, o que prova a afirmação.

Então $x\in \overline{\bigcup_{F\in \mathcal{F}_0}F}=\bigcup_{F\in \mathcal{F}_0}\overline{F}\subset \bigcup_{F\in \mathcal{F}}\overline{F}$, e a outra inclusão está provada.