topologia:propriedadesbasicasproduto [WikiMat]

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==== Propriedades Básicas do Produto ====

As primeiras propriedades sobre [[topologia:definicaogeral|produto de espaços topológicos]] referem-se ao comportamento dos conjuntos [[topologia:espacotopologico|abertos]] e [[topologia:fechado|fechados]]. De fato, o produto de fechados é fechado, conforme estabelece a proposição a seguir.

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=== Proposição ===
Seja $\{ (X_\alpha, \tau_\alpha) \}_{\alpha\in A}$ uma família de [[topologia:espacotopologico|espaços topológicos]], tome para cada $\alpha \in A$, um conjunto fechado $F_\alpha \subset X_\alpha$. Então $\prod_{\alpha\in A} F_\alpha$ é fechado no espaço $\prod_{\alpha\in A} X_\alpha$. 

<wrap help>[[topologia:propproddem1|Demonstração]]</wrap>
</WRAP>

Poderíamos tentar enunciar uma proposição análoga para conjuntos abertos, entretanto, isso não ocorre.

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O produto de conjuntos abertos, em geral, não resulta em um conjunto aberto. <wrap help>[[topologia:propprodex|Exemplo]]</wrap>
</WRAP>

Os axiomas de separação ([[topologia:espacot0|$T_0$]], [[topologia:espacot1|$T_1$]], [[topologia:espacohausdorff|$T_2$]] e [[topologia:espacoregular|$T_3$]]) se comportam bem em relação ao produto, como mostra a próxima proposição.

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=== Proposição ===
Dado $i \in \{0,1,2,3\}$, seja $\{ (X_\alpha, \tau_\alpha) \}_{\alpha\in A}$ uma família de espaços topológicos tal que cada $X_\alpha$ é $T_i$. Então o espaço produto $\prod_{\alpha\in A} X_\alpha$ também é $T_i$.

<wrap help>[[topologia:propproddem2|Demonstração]]</wrap>
</WRAP>

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=== Veja Também ===
  * [[topologia:produtofinito|Produto de Espaços Topológicos (caso finito)]];
  * [[topologia:definicaogeral|Produto de Espaços Topológicos (caso geral)]].