topologia:produtofinitodemo3 [WikiMat]

Sejam $(X,\tau)$ espaço topológico, $(Y,\sigma)$ espaço de Hausdorff e $f:X\rightarrow Y$ uma [[topologia:funcao|função contínua]]. Então o **gráfico** $\Gamma=\{(x,f(x)):x\in X\}$ de $f$ é fechado em $X\times Y$.

**Demonstração**

Seja $(x,y)\not\in\Gamma$. Então $y\neq f(x)$. Sejam $U,V\in\sigma$ disjuntos tais que $y\in U, f(x)\in V$, afinal, $(Y,\sigma)$ é espaço de Hausdorff. Seja $A\subset X$ aberto tal que $x\in A$. Pela continuidade de $f$, segue $f[A]\subset V$. Note que $x,y\in A\times U$ e $(A\times U)\cap\Gamma =\emptyset$. Com efeito, se $z\in A$, então $f(z)\in V$, mas $U,V$ são disjuntos. Com isso, temos uma vizinhança aberta de $(x,y)$ que não intercepta $\Gamma$. Logo $(X\times Y)\backslash\Gamma$ é aberto, ou seja, $\Gamma$ é fechado em $X\times Y$.

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