topologia:produto [WikiMat]

=== Todo $G_{\delta}$ não vazio em $\prod_{i\in I}X_i$ tem pelo menos dois puntos, sempre que $I$ for não enumeravel. ===

**Demonstração:** Seja  \( G_{\delta}=\cap_{n=1}^{\infty}V_n \subset \Pi_{i\in I}X_i\) uma interseção numerável de abertos. Então, existe \( (x_i)_{i\in I}\in G_{\delta}\), pois \( G_{\delta}\) é não vazio por hipótese. Logo, para cada \( V_n\) existe \( (x_i)_{i\in I}\in\Pi_{i\in I}U_i^n\subset V_n \) um aberto básico, onde \(  F_n=\{ i \in I : U^n _i\neq  X_i \}\) é finito para cada \( n\).
Logo, seja \(F=\cup_{n=1}^{\infty} F_n \), então \( I \setminus F \) é infinito. Então temos para cada \( i \in I \setminus F\) um \( y_i\neq x_i\), pois cada \( X_i\) tem pelo menos dois pontos. Portanto, temos que existe \( (z_i)_{i\in I}:=(x_j, x_i)_{j\in F,i \in I \setminus F} \neq (x_i)_{i\in I} \) que pertence a \( G_{\delta}\).