topologia:prodcompregnormal [WikiMat]

===== Produto de espaços completamente regulares e normais =====

Já vimos que produto de espaços \(T_i\) é \(T_i\) para \(i\in \{0,1,2,3\}\) (ver [[topologia:propriedadesbasicasproduto|Propriedades Básicas do Produto]]). Vamos ver que isso também vale para \(T_{3\frac{1}{2}}\).

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=== Proposição ===
Se cada \((X_\alpha,\tau_\alpha)\) é \(T_{3\frac{1}{2}}\) (resp. regular), então \(\underset{\alpha \in A}{\Pi}X_\alpha\) é \(T_{3\frac{1}{2}}\) (resp. regular). <wrap help>[[provaprodcomp|Demonstração]]</wrap>
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O produto de espaços \(T_4\) pode não ser \(T_4\). Considere o seguinte exemplo:

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=== Exemplo ===
A reta de Sorgenfrey \(\mathbb{R}_S\) é normal (veja [[topologia:exemplo:retadesorgenfrey|Reta de Sorgenfrey]]). Entretanto, \(\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S\) não é normal. <wrap help>[[prodsorgnenormal|Demonstração]]</wrap>
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