topologia:primeiroaeproduto [WikiMat]

=== Vamos mostrar os três axiomas de enumerabilidade na topologia produto. Esses axiomas são preservados por produtos enumeráveis, em particular, por produtos finitos. ===

\\ === Proposição 1 ===
<WRAP round box 85%>
Seja $((X_n,\tau_n))_{n \in \mathbb{N}}$ família de espaços que satisfazem o [[topologia:baselocalenumeravel|primeiro axioma de enumerabilidade]]. Então $\prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$ também satisfaz esse mesmo axioma.  [[.:dem:demopropd1AE| Demonstração]]
</WRAP>


\\ === Proposição 2 ===
<WRAP round box 85%>
Seja $((X_n,\tau_n))_{n \in \mathbb{N}}$ família de espaços que satisfazem o [[topologia:basesenumeraveis|segundo axioma de enumerabilidade]]. Então $\prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$ também satisfaz esse mesmo axioma.  [[.:dem:demopropd2AE| Demonstração]]
</WRAP>


\\ === Proposição  3 ===
<WRAP round box 60%>
Seja $((X_n,\tau_n))_{n \in \mathbb{N}}$ família de espaços separáveis. Então $\prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$ também é separável.  [[.:dem:demopropdseparavel| Demonstração]]
</WRAP>

O próximo resultado é um caso particular da proposição acima.

\\ === Proposição 4 ===
<WRAP round box 50%>
Se $(X,\tau)$ e $(Y,\sigma)$ são separáveis, então $X \times Y$ também é separável.  [[.:dem:demopropdoisseparaveis| Demonstração]]
</WRAP>

** Veja também **

\\   * [[topologia:separabi1.0| Quando o produto de separáveis é separável?]] que é uma forma melhorada para provar o produto de separáveis.
\\   * [[topologia:produtofinito|Caso finito]]
\\   * [[topologia:definicaogeral| Motivação, definição geral.]]
\\   * [[topologia:propriedadesbasicasproduto| Propriedades Básicas]]