topologia:homeo [WikiMat]

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========= Homeomorfismos =========

Nessa seção introduziremos a noção de homeomorfismos entre espaços topológicos.

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=== Definição ===
Dizemos que a aplicação $f: X \to Y$, entre os espaços topológicos $X$ e $Y$, é um //homeomorfismo// quando $f$ é uma bijeção contínua, cuja inversa $f^{-1}$ também é contínua. Nesse caso, diremos que $X$ e $Y$ são homeomorfos.
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**Exemplo**:  Seja $f: X \to Y$ uma aplicação contínua entre espaços topológicos. O gráfico de $f$, denotado por $Gr(f)$, é o subconjunto do produto cartesiano $X \times Y$, definido por $Gr(f) = \{ (x, f(x)) : x \in X \}$. A aplicação $\varphi : X \to Gr(f)$, definida por
$$ \varphi(x) = (x, f(x)),$$
para todo $x \in X$, é contínua, pois suas funções coordenadas $x$ e $f$ são contínuas. Por outro lado, a aplicação $\psi : Gr(f) \to X$, definida como $\psi (x, f(x)) = x$, é uma inversa para $\varphi$. Além disso, $\psi$ é contínua, pois é a restrição da projeção sobre o primeiro fator $\pi_1 : X \times Y \to X$, ao subespaço $Gr(f)$. Portanto, a aplicação $\psi$ é um homeomorfismo e, assim, os espaços $X$ e $Gr(f)$ são homeomorfos.

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=== Proposição ===
Sejam $X,Y$ e $Z$ espaços topológicos e $f: X \to Y$, $g:Y \to Z$ dois homeomorfismos. Então, a composta $g \circ f: X \to Z$ é um homeomorfismo. 
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**Demonstração:** Facilmente podemos provar que, pela bijetividade de $f$ e de $g$, a composta também é bijetora. Para a continuidade, seja $V$ um aberto de $Z$. Então, $U = g^{-1}(V)$ é um aberto em $Y$. Assim, $f^{-1}(U)$ é um aberto em $X$, e pomos 
$$f^{-1}(g^{-1}(V)) = (g \circ f)^{-1}(V).$$ 
Analogamente se prova que a aplicação $(g \circ f)^{-1}$ é contínua. 

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=== Veja também: ===

[[topologia:invariantes| - Invariantes topológicos]]