topologia:funcao [WikiMat]

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==== Funções contínuas ====

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=== Definição ===

Sejam $(X, \tau)$ e $(Y,\rho)$ [[topologia:espacotopologico|espaços topológicos]] y seja $f:X\rightarrow Y$ uma 
função. Seja $x\in X$. Dizemos que $f$ é uma **função contínua no ponto** $x$ se, para toda 
[[topologia:vizinhaca|vizinhança]] $A$ de $f(x)$ existe uma 
[[topologia:vizinhaca|vizinhança]] $B$ de $x$ tal que $f[B]\subset A$. 
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Também temos uma definição para funções contínua de manera global.

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=== Definição ===

Sejam $(X, \tau)$ e $(Y,\rho)$ [[topologia:espacotopologico|espaços topológicos]] y seja $f:X\rightarrow Y$ uma 
função. Dizemos que $f$ é uma **função contínua** se, para todo  
aberto $A$ de $Y$, temos que $f^{-1}[A]$ é aberto em $X$. 
Quer dizer $\forall A \in \rho$ então $f^{-1}[A] \in \tau$. 
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 Os conceitos apresentados são versões globais e locais da mesma coisa: 
Sejam $(X, \tau)$ e $(Y,\rho)$ [[topologia:espacotopologico|espaços topológicos]] y seja $f:X\rightarrow Y$ uma função. Entonces $f$ é contínua se, e somente se,para todo $x\in X$, $f$ é continua no ponto $x$.  <wrap help>[[solu:carac1|Demonstração]]</wrap>
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=== Exemplos ===

  * Seja $(X,\tau)$ um [[topologia:espacotopologico|espaço topológico]]. Então a função $I:X\rightarrow X$ dad por $I(x)=x$ para todo $x\in X$(função identidade) é contínua. A prova e trivial.
  * Qualquer função constante é contínua.  <wrap help>[[solu:carac2|Demonstração]]</wrap>
  * Seja $(X,\tau)$ [[topologia:espacotopologico|espaço topológico]]. Se A é aberto fechado em X. Então a função característica de A é contínua.<wrap help>[[solu:carac4|Demonstração]]</wrap>


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=== Proposição ===

Sejam $(X_1,\tau_1)$, $(X_2,\tau_2)$ y $(X_3,\tau_3)$ [[topologia:espacotopologico|espaços topológicos]] e sejam $g:X_1\rightarrow X_2$ y $g:X_2\rightarrow X_3$ 
funções contínuas. Então, $f\circ g:X_1\rightarrow X_3$ é contínua.<wrap help>[[solu:carac3|Demonstração]]</wrap>
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